一些排列組合問題條件比較多,直接使用分類或分步來考慮較為復(fù)雜,在這種情況下,掌握一些特定的解題方法和公式有助于大家快速解題。常用的解題方法有特殊定位法、反面考慮法、捆綁法、插空法、隔板法、歸一法、線排法等。專家主要為考生介紹其中四種常用的方法,以備考生復(fù)習(xí)之用。
一、特殊定位法
排列組合問題中,有些元素有特殊的要求,如甲必須入選或甲必須排第一位;或者有些位置有特殊的元素要求,如第一位只能站甲或乙。此時,應(yīng)該優(yōu)先考慮特殊元素或者特殊位置,確定它們的選法。
二、反面考慮法
有些題目所給的特殊條件較多或者較為復(fù)雜,直接考慮需要分許多類,而它的反面卻往往只有一種或者兩種情況,此時我們先求出反面的情況,然后將總情況數(shù)減去反面情況數(shù)就可以了。
例題: 從6名男生、5名女生中任選4人參加競賽,要求男女至少各1名,有多少種不同選法?
A.240 B.310 C.720 D.1080
三、隔板法
四、歸一法
排列問題中,有些元素之間的排列順序“已經(jīng)固定”,這時候可以先將這些元素與其他元素進行排列,再除以這些元素的全排列數(shù),即得到滿足條件的排列數(shù)。
例題: 一張節(jié)目表上原有3個節(jié)目,如果保持這3個節(jié)目的相對順序不變,再添進去2個新節(jié)目,有多少種安排方法?
A.20 B.12 C.6 D.4
解析:此題答案為A。方法一:“添進去2個新節(jié)目”后,共有5個節(jié)目,因此,此題相當于“安排5個節(jié)目,其中3個節(jié)目相對順序確定,有多少種方法?”
由于“3個節(jié)目相對順序確定”,可以直接采用歸一法。
方法二:也可以用插空法,即將2個新節(jié)目插入原來3個節(jié)目和兩端之間形成的空處。需要注意的是,由于插入的2個新節(jié)目可以相鄰,所以應(yīng)逐一插入。
將第一個新節(jié)目插入原有3個節(jié)目和兩端之間形成的4個空處,有4種選擇;這時,4個節(jié)目形成5個空,再將第二個新節(jié)目插入,有5種選擇。
根據(jù)乘法原理,安排方法共有4×5=20種。
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